5.3 Приклади використання дискримінантного аналізу
Приклад 5.1. Використання дискримінантного аналізу для двох класів
Використання дискримінантного аналізу для двох класів
Задано вибірку з підприємств двох класів. Нехай у галузі виділено дві групи підприємств: передова, що складається із чотирьох підприємств, та інша, що містить п’ять підприємств. Оцінювання ефективності діяльності кожного підприємства галузі здійснювалося за трьома показниками: середньорічна вартість основних виробничих фондів (ОПФ), середня чисельність промислово-виробничого персоналу (ПВП), балансовий прибуток. Вихідні дані подано в табл. 5.1.
Табл. 5.1
Вихідні дані
| Класи | Підприємства | x1 | x2 | x3 |
|---|---|---|---|---|
| А | 1 | 9,26 | 1,37 | 1,45 |
| 2 | 9,38 | 1,49 | 1,3 | |
| 3 | 12,11 | 1,44 | 1,37 | |
| 4 | 10,81 | 1,42 | 1,65 | |
| Б | 5 | 5,49 | 1,1 | 1,02 |
| 6 | 6,61 | 1,23 | 0,88 | |
| 7 | 4,32 | 1,39 | 0,62 | |
| 8 | 7,37 | 1,38 | 1,09 |
- \(x_1\) — продуктивність праці;
- \(x_2\) — коефіцієнт змінності обладнання;
- \(x_3\) — фондовіддача активної частини ОПФ.
Необхідно визначити можливість віднесення підприємства до передової групи підприємств галузі. \(z_1 = (9; 6,7; 0,79; 1,24); z_2= (10; 9,42; 0,7; 2,03)\).
Розв’язання
- Знайдемо середні значення за кожною з ознак групи, де \(n_1=n_x=4; n_2=n_y=5\).
| \(x_{cp}\) | \(y_{cp}\) |
|---|---|
| 10,39 | 5,95 |
| 1,43 | 1,28 |
| 1,44 | 0,9 |
- Визначимо оцінки коваріаційних матриць за формулою: \[ S_{kj}(x)=\frac{1}{n_i} \sum_{i=1}^{n_1} (x_{ij}- \bar{x}_j)(x_{ik}- \bar{x}_k). \] Отримаємо:
| Sx | Sy | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 1,35795 | 0,00505 | 0,024475 | 1,330119 | 0,003112 | 0,164456 |
| 0,00505 | 0,00185 | -0,00295 | 0,003112 | 0,014225 | -0,00809 |
| 0,024475 | -0,00295 | 0,017169 | 0,164456 | -0,00809 | 0,032319 |
\[ S_{12}=\frac{1}{4} \times \sum_{i=1}^4 (x_{i1} - \bar{x}_1) \times (x_{i2} - \bar{x}_{ij}) = \\ = \frac{1}{4} \times ((9,26-10,39)\times(1,37-4,42))+...+ \\ + (10,81 - 10,39) \times (1,37-4,42). \]
Знайдемо незміщену оцінку сумарної коваріаційної матриці за формулою: \[ S=\frac{1}{n_1+n_2-2}(n_1 S_x + n_2 S_x); \\ \widehat{S}= \frac{1}{4+5-2} (4S_x + 5S_y). \] Oтримуємо: \[ S= \left(\begin{array}{c} 1,792 & 0,0054 & 0,126\\ 0,0054 & 0,0107 & -0,0074\\ 0,126 & -0,0074 & 0,033 \end{array}\right). \]
Знаходимо зворотну коваріаційну матрицю до \(\widehat{S}\):
\[ S^{-1}= \left(\begin{array}{c} 0,8434 & -3,1398 & -3,9245\\ -3,1398 & 122,3002 & 39,4131\\ -3,9245 & 39,4131 & 54,1254 \end{array}\right). \]Знаходимо вектор коефіцієнтів дискримінації за формулою: \[ A’=\widehat{S}^{-1} (\bar{X} - \bar{Y}). \] Oтримуємо: \(A = (1,1481; \> 26,1074; \> 17,8073).\) \[ S_{12}=\frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^4 (x_{i1} - \bar{x}_1) \cdot (x_{i2} - \bar{x}_{ij}) = \\ = \frac{1}{4} \cdot ((9,26-10,39)\cdot(1,37-4,42))+...+ \\ + (10,81 - 10,39)\cdot (1,37-4,42). \]
Обчислимо оцінки дискримінантних функцій \(\widehat{U_x}= Xa\).
| \(U_x\) | \(U_y\) |
|---|---|
| 72,2196 | 53,1850 |
| 72,8192 | 55,3718 |
| 75,8947 | 52,2898 |
| 78,8661 | 63,9000 |
Визначаємо середні значення отриманих оцінок: \(\widehat{u_x}=74,9499; \> \> \widehat{u_x}=56,18666\).
Обчислимо константу дискримінації за формулою: \[ \widehat{C}= \frac{1}{2}(\bar{f}_1 + \bar{f}_2). \] Oтримуємо: \(C = 65,568\).
Визначимо можливість включення об’єднання у групу передових. Оскільки матриця \(Z\) подана одним рядком, то \(\widehat{U_y}\) позначимо \(\widehat{U_z}\): \[ \widehat{u_z} = z_1 a_1 + z_2 a_2 + z_3 a_3. \\ \widehat{u_z} = 50,399 \> \> z_2=65,240. \] Середнє значення дискримінантної функції менше ніж константа \(\widehat{C} \ \ (\widehat{u_z}<\widehat{C})\). Отже, об’єднання \(z\) з характеристиками \(Z^T\) слід віднести до 2-ї групи підприємств галузі.
Розрахуємо критерій «лямбда Уїлкса»:
- внутрішньогрупова варіація дорівнює: \[ Q_{SW}=\sum_{i=1}^{n_1} (Y_{1i}-Y_{1G})^2 + (Y_{2i}-Y_{2G})^2 = 19,94+6,25=26,19; \]
- міжгрупова варіація дорівнює: \[ Q_{sb}=n_1×(Y_{1G}-Y_g )^2+n_2 (Y_{2G}-Y_g )^2=4×5,01+4×5,01=40,1; \]
- критерій «лямбда Уїлкса»: \[ \lambda=\frac{40,1}{26,19}=1,53; \\ L_w=\frac{1}{1+1,53}=0,395=>дискримінація \> груп. \]
Розрахуємо вплив окремих параметрів: \[ R_{x_i}=\frac{|a_j^*|}{\sum_{j=1}^m |a_j^*|}. \] \(R_{x1} = 2,55; R_{x2} = 57,94; R_{x3} = 39,52.\) Отже, на \(57,94\%\) дискримінація на класи пояснюється другою ознакою, на \(39,52\%\) — третьою, на \(2,55\%\) — першою.
За шкалою інтерпретацій: \(Z<56,19/2,\) \(Z < 28,1\) — 1-й клас, \(28,1≤Z≤74,95\) — невизначеність, \(Z > 37,48\) — 2-й клас.
Приклад 5.2. Розв’язання прикладу для випадку з чотирма класами
Приклад для випадку з чотирма класами
Дано 32 підприємства, розділені на чотири групи за чотирма ознаками (табл. 5.2).
Табл. 5.2
Вхідні дані
| № п/п | \(X_1\) | \(X_2\) | \(X_3\) | \(X_4\) | \(S\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,75 | 5,25 | 8 | 16 | 1 |
| 2 | 2,65 | 5,5 | 11 | 15 | 1 |
| 3 | 1,8 | 4,47 | 10 | 6 | 1 |
| 4 | 2,5 | 4,75 | 7 | 9 | 1 |
| 5 | 3 | 5 | 12 | 7 | 1 |
| 6 | 3,54 | 4,71 | 8 | 6 | 1 |
| … | … | … | … | … | … |
| 28 | 4 | 1,75 | 7 | 2 | 4 |
| 29 | -3,03 | 1 | 8 | 2 | 4 |
| 30 | 3,25 | 0,88 | 6 | 3 | 4 |
| 31 | 3,69 | 0,49 | 5 | 2 | 4 |
| 32 | 4,2 | 1 | 7 | 2 | 4 |
Визначте, до якого класу варто віднести два нових підприємства.
| 33 | 3,85 | 4,47 | 10,5 | 8 |
| 34 | 4,6 | 6,2 | 8,7 | 9 |
Розв’язання
- Знайдемо середні значення для класів, квадрантів \((x_1,x_2(1-18), \> x_3,x_4 (1-18), \> x_1,x_2 (19-32), \> x_3, x_4 (19-32))\) і для всіх 32-х об’єктів узятих сукупно для класів:
- для першого квадранта: \(\overline{x_{1(11-18)}} = \frac{56,48}{18}=3,14;\) \(\overline{x_{2(1-18)}} = \frac{71,89}{18}=3,99;\)
- для другого: \(\overline{x_{3(1-18)}} = \frac {193}{18} = 10,72;\) \(\overline{x_{4(1-18)}} = \frac{150}{18}=8,83;\)
- для третього: \(\overline{x_{1(19-32)}}=\frac{61,46}{14}=4,39;\) \(\overline{x_{1(19-32)}} = \frac{37,12}{14}=2,65;\)
- для четвертого: \(\overline{x_{1(19-32)}} = \frac{127}{14}=9,07;\) \(\overline{x_{1(19-32)}} = \frac{69}{14}=4,93;\)
- для всіх об’єктів: \((3,69; 3,41; 10,00; 6,84).\)
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 2,57 | 4,27 | 5,58 | 3,49 |
| 4,47 | 3,04 | 4,51 | 1,26 |
| 9,50 | 13,17 | 13,17 | 6,00 |
| 9,00 | 7,00 | 7,33 | 3,13 |
Обчислимо у квадрантах значення лінійних відхилень \(L_1, L_2, L_3, L_4 (L_i = x_i-x_{icp})\) для кожного об’єкта, що входить у відповідний квадрант.
За отриманими відхиленнями знайдемо дисперсії для кожного квадранта: \[ G_{ij}=\sum_i (x_i- \bar{x}_j)^2. \] Отримуємо:
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) |
|---|---|---|---|
| 32,48 | 51,3 | 312,54 | 320,93 |
- Обчислимо значення коваріацій \(V_{12}, V_{13}, V_{14}, V_{23}, V_{24}, V_{34}\). Для цього необхідно перемножити відповідні відхилення. Наприклад, \(V_{12} = L_1 \cdot L_2\).
| № п/п | \(V_{12}\) | \(V_{13}\) | \(V_{14}\) | \(V_{23}\) | \(V_{24}\) | \(V_{34}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -1,74 | 3,778 | -10,6 | -3,42 | 9,63 | -20,9 |
| 2 | -0,74 | -0,14 | -3,25 | 0,418 | 10,04 | 1,852 |
| 3 | -0,64 | 0,966 | 3,121 | -0,34 | -1,11 | 1,685 |
| 4 | -0,48 | 2,374 | -0,43 | -2,81 | 0,504 | -2,48 |
| 5 | -0,14 | -0,18 | 0,184 | 1,286 | -1,34 | -1,7 |
| 6 | 0,288 | -1,1 | -0,94 | -1,95 | -1,67 | 6,352 |
| 7 | 0,072 | 0,23 | 1,059 | -0,16 | -0,75 | 2,407 |
| … | … | … | … | … | … | … |
| 29 | 2,245 | 1,456 | 3,981 | 1,769 | 4,836 | 3,138 |
| 30 | 2,018 | 3,499 | 2,197 | 5,441 | 3,416 | 5,923 |
| 31 | 1,511 | 2,847 | 2,048 | 8,8 | 6,33 | 11,92 |
| 32 | 0,313 | 0,392 | 0,554 | 3,421 | 4,836 | 6,066 |
- Знайдемо параметри \(a_1\) і \(a_2\) для першого квадранта за такою формулою матричних визначників: \[ \begin{cases}a_1 \cdot \sigma_{11} + a_{12} \cdot \sigma_{12} =\bar x_{11} - \bar x_{12} \\a_1 \cdot \sigma_{21} + a_{12} \cdot \sigma_{22} =\bar x_{21} - \bar x_{22} \end{cases}. \] Звідси: \[ \sigma_{11}=\frac{\sum (x_1 - \bar x_1)^2(1-18)}{18} = 0,8435; \] \[ \sigma_{11}=\frac{\sum (x_1 - \bar x_1)^* \times (x_2 - \bar x_2)(1-18)}{18} = -0,5687; \] \[ \sigma_{22}=\frac{\sum (x_2 - \bar x_2)^2(1-18)}{18} = 0,6859. \] Підставляючи вже знайдені середні значення \(x\) і \(σ\), запишемо систему рівнянь: \[ \begin{cases}a_1\cdot 0,8435 - a_2 \cdot 0,5687 = 2,5741 - 4,2650 \\ -a_1\cdot 0,5687 - a_2 \cdot 0,6859 = 3,0416 \end{cases}. \] Розв’язавши систему, \(a_1\) отримуємо: \(a_1=-1,3617;\) \(a_2=0,9530.\) Аналогічно розв’язуємо систему для всіх параметрів усіх квадрантів. Отримуємо такі оцінки параметрів:
| Квадранти | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| Параметри | \(a_1 =-1,3617\) | \(a_3=-0,6840\) | \(a_1 = 0,4164\) | \(a_3 = 0,3056\) |
| Параметри | \(a_2 = 0,9530\) | \(a_4 = 0,0864\) | \(a_2 = 0,9146\) | \(a_4 = 0,341\) |
- На основі отриманих параметрів обчислюємо значення дискримінантних функцій: \(f(x)_{12}\) — за параметрами \(x_1\) і \(x_2\); \(f(x)_{34}\) — за параметрами \(x_3\) і \(x_4\). Причому значення функцій для конкретного об’єкту розраховуються відповідно до конкретного значення оцінок параметрів для певного квадранта.
| № п/п | \(f(x)_{12}\) | \(f(x)_{34}\) |
|---|---|---|
| 1 | 2,62 | -4,09 |
| 2 | 1,633 | -6,228 |
| 3 | 1,809 | -6,322 |
| 4 | 1,123 | -4,01 |
| 5 | 0,68 | -7,603 |
| 6 | -0,332 | -4,954 |
| 7 | 0,182 | -6,408 |
| … | … | … |
| 29 | 2,176 | 3,127 |
| 30 | 2,158 | 2,857 |
| 31 | 1,985 | 2,21 |
| 32 | 2,663 | 2,821 |
Обчислюємо суму частинних функцій в межах кожного класу.
| Класи | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)_{12}\) | 9,056 | -17,454 | 38,698 | 20,893 |
| \(f(x)_{34}\) | -68,645 | -50,407 | 39,146 | 23,194 |
Знайдемо значення відповідних субфункцій і субконстант: Для \(f(x)_{12}:\) \[ C^I = a_1 \overline{x_{11(1-12)}} + a_2 \overline{x_{21(1-12)}} = 1,36×2,57+0.953×4,47=0,755; \\ C^{II} = a_1 \overline{x_{12(13-18)}} + a_2 \overline{x_{22(13-18)}} = 1,36×4,265+0,953×3,042=-2,909; \\ C^{III} = a_1 \overline{x_{13(19-24)}} + a_2 \overline{x_{23(19-24)}} = 0,416×5,585+0,915×4,51=6,45; \\ C^{IV} = a_1 \overline{x_{14(25-32)}} + a_2 \overline{x_{24(25-32)}} = 0,416×3,494+0,915×1,258=2,605; \\ \frac{C^{I} + C^{II}}{2} = \frac{0,755-2,909}{2} = 1,077; \\ \frac{C^{III} + C^{IV}}{2} = \frac{6,45-2,605}{2} = 4,53; \\ C_{(x_1x_2)} = \frac{C^{I} + C^{II} + C^{III} + C^{IV}}{4} = 1,725. \] Для \(f(x)_{34}\): \[ C^I = a_3 \overline{x_{31(1-12)}} + a_3 \overline{x_{41(1-12)}} = -0,684×9.5+0,086×9=-5,72; \\ C^{II} = a_3 \overline{x_{32(13-18)}} + a_3 \overline{x_{42(13-18)}} = -0,684×13,167+0,086×7=-8,41; \\ C^{III} = a_3 \overline{x_{33(19-24)}} + a_3 \overline{x_{43(19-24)}} = 0,306×13,167+0,341×7,33=6,52; \\ C^{IV} = a_3 \overline{x_{34(25-32)}} + a_3 \overline{x_{4(1-12)}} = -0,606×6+0,341×3,125=2,899; \\ \frac{C^{I} + C^{II}}{2} = \frac{-5,72-8,41}{2} = -7,061; \\ \frac{C^{III} + C^{IV}}{2} = \frac{6,52-2,89}{2} = 4,712; \\ C_{(x_1x_2)} = \frac{C^{I} + C^{II} + C^{III} + C^{IV}}{4} = -1,725. \]
Записуємо загальні функції \(F(32)\) і загальні константи за 32-ма об’єктами. Для цього будуємо систему рівнянь за чотирма класами об’єктів з чотирма невідомими: \[ \begin{cases}a_1\cdot f_{11} + a_2\cdot f_{12} + a_3\cdot f_{13} + a_4\cdot f_{14} = \overline{x_{11}} + \overline{x_{12}} + \overline{x_{13}} + \overline{x_{14}}\\ a_1\cdot f_{21} + a_2\cdot f_{22} + a_3\cdot f_{23} + a_4\cdot f_{24} = \overline{x_{21}} + \overline{x_{22}} + \overline{x_{23}} + \overline{x_{24}} \\ a_1\cdot f_{31} + a_2\cdot f_{32} + a_3\cdot f_{33} + a_4\cdot f_{34} = \overline{x_{31}} + \overline{x_{32}} + \overline{x_{33}} + \overline{x_{34}} \\ a_1\cdot f_{41} + a_2\cdot f_{42} + a_3\cdot f_{43} + a_4\cdot f_{44} = \overline{x_{41}} + \overline{x_{42}} + \overline{x_{43}} + \overline{x_{44}}\end{cases}. \] Розв’язавши систему рівнянь, отримуємо: \[ a_1 = -13.0507; \> \> a_2=1,1251; \> \> a_3=1,0337; \> \> a_4=-1,0445. \]
Знайдемо шукане значення загальної функції для 32-x об’єктів: \[ C_{заг}=a_1 \cdot x_1+a_2 \cdot x_2+a_3 \cdot x_3+a_4 \cdot x_4 = \\ =-13,05 \cdot 3,69+1,14 \cdot 3,401+10 \cdot 1,034-6,84 \cdot 1,045=-41,0442. \]
Обчислимо значення загальних функцій для кожного класу: \[ f_1 = a_1 \cdot \overline{x_{11}} + a_2 \cdot \overline{x_{21}} + a_3 \cdot \overline{x_{31}} + a_4 \cdot \overline{x_{41}} = -28,1; \\ f_2 = -45,91; \> \> f_3 = -61,82; \> \> f_4 = 41,23. \]
Обчислюємо значення за новими об’єктами (33–34): \[ f_{33}=-13,051 \cdot 2,3 + 6,11 \cdot 1,135 + 1,034 \cdot 10-1,045 \cdot 14=-27,35; \\ f_{34} = -13,051 \cdot 5,21 + 1,135 \cdot 1,18 + 1,034 \cdot 13 - 1,045 \cdot 4 = -57,395. \]
Визначимо приналежність об’єктів 33–34 до одного з класів. Об’єкт належить саме до того класу, дискримінант якого більше його функції. Якщо функція об’єкта більше дискримінанти, то об’єкт відносять до наступного класу: \(33:-27,3671>-28,1002\), отже об’єкт належить до 1 класу.