2.4. Повна ймовірність
Нехай подія \(A\) може настати лише за умови появи однієї з несумісних випадкових подій (гіпотез) \(H_{1},H_{2},\cdots H_{n}\), що утворюють повну групу подій \(P(H_{i})\), і ймовірність кожної з подій цієї групи відома, а також відомі умовні ймовірності події \(A\) у випадку, коли реалізується певна гіпотеза, тобто \(P(A|H_{i})\), де \(i = {1,...,n}.\) Тоді ймовірність події \(A\) визначається за формулою, яка має назву формули повної ймовірності (2.11):
\[\begin{equation} P\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{P(H_{i}) \cdot P(A|H_{i}}), \tag{2.11} \end{equation}\]
де \(P(H_{i})\) − ймовірність реалізації \(i\)-ої гіпотези;
\(P(A|H_{i})\) − ймовірність події \(A\) за умови, що реалізується гіпотеза \(H_{i}.\)
Те, що гіпотези \(H_{1},H_{2},\cdots H_{n}\) утворюють повну групу несумісних подій, означає, що відносно них повинні виконуватися умови (2.12):
\[\begin{equation} H_{i} \cap H_{j} = \ Ø,\ якщо\ i \neq j;\ H_{1} \cup H_{2} \cup \cdots \cup H_{n} = \ Ω. \tag{2.12} \end{equation}\]
Відповідно, матимемо, що \(P\left( H_{1} \right) + P\left( H_{2} \right) + \ldots + P\left( H_{n} \right) = 1\).
Формула повної ймовірності є наслідком теорем множення і додавання ймовірностей випадкових подій.
Доведення
Оскільки подія \(A\) може з’явитись лише як наслідок реалізації будь-якої з гіпотез \(H_{1},H_{2},\cdots H_{n}\), що утворюють повну групу випадкових подій, то подія \(A\) є сумою добутків кожної з гіпотез на подію \(A\): \[A = H_{1}A + H_{2}A + \cdots + H_{n}A.\]
Відповідно, \(P\left( A \right) = P(H_{1}A + H_{2}A + \cdots + H_{n}A).\)
Оскільки гіпотези є випадковими подіями, які несумісні в сукупності: \[(H_{i} \cap H_{j}=\ Ø,якщо \ i≠j),\] то кожний доданок у останньому виразі є подією, які теж попарно несумісні.
Тоді за аксіомою IV маємо: \[P\left( A \right) = P\left( H_{1}A \right) + P\left( H_{2}A \right) + \cdots + P(H_{n}A).\]
За теоремою множення ймовірностей отримуємо: \[P\left( A \right) = P\left( H_{1} \right) \cdot P\left( A \middle| H_{1} \right) + P(H_{2}) \cdot P\left( A \middle| H_{2} \right) + \cdots + P(H_{n}) \cdot P(A|H_{n}).\]
Отже, отримали формулу повної ймовірності, саме її і потрібно було довести.
Приклад 2.6.
Припустимо, що людина придбала два білети в лотереї, де виграш припадає на три білети з десяти, і три білети в лотереї, де виграш припадає на чотири білети з десяти. Визначити ймовірність того, що виграш припав на один з білетів.
Розв’язання
Нехай \(A\) − це випадкова подія, яка полягає в тому, що виграш припав на один з білетів, які придбала людина. Оскільки виграшним може бути або білет першої лотереї (гіпотеза \(H_{1}\)), або другої (гіпотеза \(H_{2}\)), то ці випадкові події несумісні і утворюють повну групу подій. Білетів першої лотереї тільки два з п’яти, отже, ймовірність гіпотези \(H_{1}\) становить 0,4. Відповідно, для гіпотези \(H_{2}\) ймовірність становить 0,6 (таких білетів три з п’яти). Перевіряємо: \[P\left( H_{1} \right) + P\left( H_{2} \right) = 1.\] Отже, гіпотези \(H_{1}\) і \(H_{2}\) дійсно утворюють повну групу випадкових подій. Ймовірність того, що виграш припаде на один з білетів, для першої лотереї дорівнює 0,3, а ймовірність виграшу одного білета у другій лотереї становить 0,4. Тепер застосувавши формулу повної ймовірності, отримуємо: \[P\left( A \right) = P\left( H_{1} \right)\cdot P\left( A \middle| H_{1} \right) + P\left( H_{2} \right)\cdot P\left( A \middle| H_{2} \right) = 0,4\cdot 0,3 + 0,6\cdot 0,4 =0,36.\]
Відповідь: ймовірність виграшу в лотерею за одним з п’яти білетів дорівнює 0,36.