1.1. Основні означення теорії ймовірностей

Випробування: Вихідним поняттям теорії ймовірності є випробування (експеримент), під яким розуміють спосіб дослідження процесів та явищ при чітко визначених умовах, які дозволяють відтворювати це явище достатню кількість разів.

Подія: Наслідком випробування є подія. Для позначення події використовуються великі латинські літери, наприклад, \(A\), \(B\), \(C\), а також літера \(S\), якщо мова йде взагалі про будь-яку подію.

У теорії ймовірностей розглядаються стохастичні, або ймовірнісні випробування.

Теорія ймовірностей – це одна з математичних дисциплін, яка вивчає закономірності, яким підпорядковуються масові випадкові події та випадкові величини.

Предметом теорії ймовірностей є події, що пов’язані з масовими однорідними експериментами, тобто такими експериментами, які можуть бути багато разів повторені в приблизно однакових умовах.

Простір елементарних подій: Сукупність усіх можливих наслідків стохастичного випробування утворює простір елементарних подій \(\Omega = \left\{ \omega_{1},\ \ \omega_{2},\ \ ...,\ \ \omega_{n} \right\}\), де \(\omega_{i}\) – елементарний наслідок випробування, тобто елементарна подія, що належить простору \(\Omega\). При цьому виконується умова: \(\omega_{i} \cap \omega_{j} = \ Ø\), якщо \(i \neq j\).

Дискретний простір елементарних подій: Якщо множина \(\Omega\) є зліченною, або скінченною, то такий простір елементарних подій називається дискретним. У цьому випадку кожній елементарній події можна поставити у відповідність певне натуральне число \(n\).

Приклад 1.1

Кидають дві монети, кожна з яких може впасти догори номіналом (Н) або гербом (Г). Визначити простір елементарних подій.

Розв’язання. Простір елементарних подій утворюють такі події: \(\omega_{1} = \left\{ Н;\ Н \right\}\), \(\omega_{2} = \left\{ Г;\ Г \right\}\), \(\omega_{3} = \left\{ Н;\ Г \right\}\) та \(\omega_{4} = \left\{ Г;\ Н \right\}\). Інших наслідків випробування, що розглядається, не може мати. Отже, простір елементарних подій у даному прикладі складається з чотирьох подій: \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), тобто є дискретним.

Неперервний простір елементарних подій: Простір елементарних подій, який складається з нескінченного числа подій, називається неперервним.

Сприятлива подія: Нехай подія \(S\) є підмножиною простору елементарних подій, тобто \(S \subseteq \Omega\). Елементарні події, що належать до цієї підмножини, називаються сприятливими щодо появи події \(S\).

Випадкові події: Якщо подія \(S\) містить лише частину елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій \(\Omega\), то така подія називається випадковою.

Неможливі події: Одним із граничних випадків є неможлива подія, для якої жодна з елементарних подій даного простору елементарних подій не є сприятливою, тобто підмножина елементарних подій, що утворює неможливу подію, є пустою. Така подія позначається \(Ø\).

Вірогідні події: Іншим граничним випадком є вірогідна подія, для якої сприятливими є всі елементарні події даного простору елементарних подій. Така подія позначається \(\Omega\).

У прикладі 1.1 з двома монетами неможливою є подія, коли випаде три герби, або монети не впадуть, а повиснуть у повітрі. Достовірною є подія, яка полягає у тому, що обидві монети впадуть, неважливо, якою саме стороною, але впадуть. На просторі елементарних подій \(\Omega= \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\) випадковою можна вважати кожну з елементарних подій окремо, а можна утворити підмножину, що містить декілька елементарних подій. Так, на даному просторі елементарних подій розглянемо випадкову подію \(A\), яка полягає в тому, що обидві монети випали однаковими сторонами. Сприятливими для цієї випадкової події є елементарні події \(\omega_{1} = \left\{ Н;\ \ Н \right\}\) і \(\omega_{2} = \left\{ Г;\ \ Г \right\}\), тобто подія \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\) відбудеться, якщо матиме місце одна з елементарних подій, що входять до її складу.

Протилежна подія: Якщо результатом випробування є тільки ті елементарні події, що доповнюють дану випадкову подію \(S\) до простору елементарних подій, тобто жодна з елементарних подій, які є сприятливими для події \(S\), не відбулася, то має місце протилежна подія \(\overline{S}\).

Так, у прикладі 1.1 з двома монетами протилежною випадковій події \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\), коли на обох монетах маємо однакові результати, є випадкова подія \(\overline{A} = \{\omega_{3};\ \ \omega_{4}\}\), коли на двох монетах отримуємо різні результати.

Сумісна подія: Події \(S_{1}\) та \(S_{2}\) називаються сумісними, якщо існує хоча б одна елементарна подія, яка є сприятливою і для події \(S_{1}\), і для події \(S_{2}\).

Несумісна подія: Якщо не існує елементарних подій, які б одночасно були сприятливими для випадкових подій \(S_{1}\) та \(S_{2}\), то такі випадкові події є несумісними.

Повернемось до випробування з двома монетами (приклад 1.1). Якщо на просторі елементарних подій \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\) розглядати подію \(B = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), яку можна визначити як «герб випадає хоча б один раз», то подія \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\), тобто на обох монетах отримуємо однакові результати, і подія \(B = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\) будуть сумісними, оскільки мають спільну сприятливу елементарну подію \(\omega_{1}\), тобто герб з’явиться на обох монетах.

Додаткова інформація

Відношення між подіями зручно відображати за допомогою діаграм Венна–Ейлера. Швейцарський, російський та німецький математик та фізик Леонард Ейлер (1707 – 1783) використовував ідею зображення множин за допомогою кіл для вирішення цілого ряду завдань. У подальшому метод кіл Ейлера застосовував німецький математик Ернст Шредер (1841 – 1902). Однак своїм теперешнім розвитком цей метод завдячує англійському філософу і логіку Джону Венну (1834 – 1923), який запропонував застосовувати ці діаграми як графічний спосіб зображення формул математичної логіки. При застосуванні діаграм Венна–Ейлера у теорії ймовірностей простір елементарних подій \(\Omega\) зображується у вигляді деякого прямокутника, в якому розташовуються у вигляді кіл або інших простих фігур усі випадкові події, які можуть розглядатись на цьому просторі \(\Omega\).

Так, у прикладі з двома монетами прямокутник, який відповідає простору елементарних подій, поділяється на рівні за площею прямокутники, які відповідають певним елементарним подіям (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Простір елементарних подій для прикладу з двома монетами

Випадковій події \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\) відповідає область простору \(\Omega\), що виділена штриховкою, а не заштрихованою залишилась випадкова подія \(\overline{A} = \{\omega_{3};\ \ \omega_{4}\}\), яка є протилежною по відношенню до події \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\). Ці події є несумісними, оскільки не мають елементарних подій, які б одночасно були б сприятливими і для події \(A\), і для події \(\overline{A}\). Тоді як випадкова подія \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\), наприклад, є сумісною з вірогідною подією \(\Omega\) (обидві монети впадуть), оскільки вони мають дві елементарні події, які є сприятливими для них обох.

Повна група несумісних випадкових подій: Випадкові попарно несумісні події \(S_{1};\ \ S_{2};\ \ \ldots; S_{m}\), що визначені на одному і тому ж просторі елементарних подій, утворюють у сукупності повну групу несумісних випадкових подій, якщо при реалізації будь-якої елементарної події \(\omega_{i} \subset \Omega\) (\(i = \overline{1,n}\)), де \(\Omega = \{\omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ ...;\ \ \omega_{n}\}\), відбувається одна з випадкових подій \(S_{j}\) (\(j = \overline{1,m})\).

Доповнення: Протилежна подія \(\overline{S}\) також називається доповненням події \(S\) до повної групи несумісних випадкових подій.

Отже, повна група несумісних випадкових подій вичерпує всі можливі наслідки випробувань на заданому просторі елементарних подій, відповідно, вона теж позначається \(\Omega\). Зрозуміло, що сукупність елементарних подій утворює повну групу несумісних подій. Також повною групою несумісних подій є будь-яка випадкова подія \(S\) і протилежна їй подія \(\overline{S}\).

Для того ж самого простору елементарних подій можна вибрати випадкові події таким чином, щоб їх можна було б об’єднати у декілька повних груп несумісних випадкових подій. Повернемось до прикладу 1.1. Повну групу несумісних випадкових подій можна скласти з елементарних подій простору \(\Omega\), тобто \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\). Якщо \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\), то повну групу випадкових подій можна надати у вигляді: \(\Omega = \left\{ A;\ \ \overline{A} \right\}\) або \(\Omega = \left\{ A;\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\). Аналогічно, якщо \(B = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), то \(\Omega = \left\{ B;\ \ \omega_{2} \right\}\). Якщо \(С = \left\{ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), то \(\Omega = \left\{ С;\ \ \omega_{1} \right\}\). І цими прикладами ще не вичерпані можливості побудови повної групи несумісних подій на множині \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\). Пропонуємо продовжити їх пошук самостійно.

Наслідок події: Подія \(B\) є наслідком події \(A\), якщо всі елементарні події, що є сприятливими для події \(A\), є сприятливими також і для події \(B\). У цьому випадку множина елементарних подій, які є сприятливими для події \(A\), є підмножиною множини елементарних подій, які є сприятливими для події \(B\), тобто \(A \subset B\).

Так, якщо розглядати випадкові події \({G} = \left\{ \omega_{3}; \ \omega_{4} \right\}\) та \(B = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4}\right\}\), то подія \(B\) є наслідком події \(G\).

Якщо \(A \subset B\) і \(B \subset C\), то звідси випливає, що \(A \subset C\), тобто подія \(C\) є наслідком події \(A\).