1.2. Ймовірність випадкової події

Оскільки певна випадкова подія як наслідок даного випробування може мати місце, а може і не відбутися, то випадковій події слід поставити у відповідність деяке число, що визначає об’єктивну можливість її реалізації.

Ймовірність

Невід’ємне число, яке є кількісною мірою об’єктивної можливості реалізації випадкової події, називається її ймовірністю і позначається \(P(S)\).

Існує кілька підходів до визначення ймовірності події і, відповідно до цих підходів, кілька означень ймовірності, а саме: класичне, статистичне та геометричне.

1.2.1. Статистичне означення ймовірності

Історично першим було статистичне означення ймовірності. Уявімо, що в однакових умовах проводиться \(n\) випробувань, де спостерігають за появою певної випадкової події \(S\). Нехай подія \(S\) у цій серії випробувань з’явилась \(m\) разів, тобто \(m\) – це частота появи події \(S\) в серії з \(n\) випробувань. Тоді відношення \(\frac{m}{n}\) є відносною частотою, або частістю появи події \(S\) у серії з \(n\) випробувань.

Статистичне означення ймовірності

Якщо випробування проводяться в однакових умовах, то при \(n \rightarrow \infty\) існує скінчена границя відносної частоти, яку і визначають як ймовірність випадкової події \(S\). Їі наведено у формулі: \[\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} = P(S). \tag{1.1} \end{equation}\]

Додаткова інформація

При невеликій кількості випробувань відносна частота появи події може суттєво відрізнятись у різних серіях експериментів, однак при великій кількості випробувань ця величина наближається до ймовірності події. Наприклад, у XVIII сторіччі французький натураліст, біолог, математик, геолог, письменник і перекладач Жорж-Луї Леклерк, граф де Бюффон провів 4040 випробувань, в яких спостерігав за появою герба при підкиданні монети. У цих випробуваннях герб з’явився 2 048 разів (відповідно, відносна частота становила 0,5069). Де Бюффон описав свій досвід у книзі «Есе з моральної арифметики» (1777 р.). Вважається, що це перший опублікований статистичний експеримент. На початку ХХ сторіччя англійський математик, засновник математичної статистики Карл Пірсон повторив експеримент Бюффона, провівши спочатку 12 000, а потім 24 000 випробувань. У першій серії випробувань герб з’явився 6 019 разів (відносна частота становила 0,5016), а у другій – 12 012 разів (відносна частота становила 0,5005). Наприкінці ХХ сторіччя при моделюванні аналогічних випробувань за допомогою ЕВМ у серії з 150 000 випробувань відносна частота появи герба становила 0,500111. Отже, при збільшенні кількості випробувань відносна частота випадкової події наближається до її ймовірності, яка в даному випадку, як відомо, дорівнює 0,5.

1.2.2. Класичне означення ймовірності

Розглянемо простір елементарних подій \(\Omega = \left\{ \omega_{1},\ \ \omega_{2},\ \ ...,\ \ \omega_{n} \right\}\), який є скінченною множиною елементарних подій, що відповідає таким вимогам:

1. усі елементарні події попарно несумісні, тобто \(\omega_{i} \cap \omega_{j} = \ Ø\), якщо \(i \neq j\);
2. елементарні події є рівноможливими, тобто немає об’єктивних причин стверджувати, що можливість настання події \(\omega_{i}\) відрізняється від можливості настання події \(\omega_{j}\ (i \neq j).\)

Ймовірність елементарної події

Нехай маємо дискретний простір елементарних подій \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ ...;\ \ \omega_{n} \right\}\). Кожній елементарній події \(\omega_{i} \in \Omega\), де \(i = \overline{1,n}\), можна поставити у відповідність невід’ємне число \(P(\omega_{i})\), яке називається ймовірністю елементарної події \(\omega_{i}\), при цьому сума ймовірностей усіх елементарних подій дорівнює одиниці: \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^{n}P\left( \omega_{i} \right) = 1. \tag{1.2} \end{equation}\]

Зазначимо, що простір елементарних подій, представлений на рис. 1.1, відповідає усім цим вимогам.

Класичне означення ймовірності події

Нехай для події \(S\) сприятливими є \(m\) елементарних подій (\(0 \leq m \leq n\)), тобто події \(S\) відповідає підмножина з \(m\) елементарних подій множини \(\Omega\). За класичним означенням ймовірність події \(P(S)\) визначається співвідношенням: \[\begin{equation} P(S) = \frac{m}{n}, \tag{1.3} \end{equation}\] де \(n\) – загальна кількість рівноможливих елементарних подій, які утворюють простір елементарних подій \(\Omega\); \(m\) – кількість сприятливих елементарних подій, тобто подій, що супроводжуються появою події \(S\).

Якщо \(m = 0\), то така подія є неможливою, оскільки немає жодної елементарної події, яка б була сприятливою для цієї події, і за формулою (1.3) її ймовірність дорівнює нулю.

Якщо \(m = n\), тобто кожна з елементарних подій множини елементарних подій \(\Omega = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2};\ \ ...;\ \ \omega_{n} \right\}\) є сприятливою для події, що розглядається, то така подія є вірогідною, і за формулою (1.3) її ймовірність дорівнює одиниці.

На діаграмах Венна–Ейлера відображенням ймовірності випадкової події є площа фігури, за допомогою якої зображується ця подія. Так, виходячи з діаграми, що наведена на рис. 1.2, випадковій події \(S_{1}\) відповідає більша ймовірність, тобто для цієї випадкової події існує більша об’єктивна можливість з’явитись у результаті випробування, ніж для випадкової події \(S_{2}\), оскільки обидві вони відображаються у вигляді кіл, але події \(S_{2}\) відповідає коло меншого радіусу, ніж події \(S_{1}\). Оскільки кола, що відповідають різним випадковим подіям, не перетинаються, тобто нема елементарних подій, які б одночасно були сприятливими для обох випадкових подій, то ці події несумісні.

Рис. 1.2. Діаграма Венна – Ейлера, що відображає ймовірність випадкових подій

Повернемося до прикладу 1.1 (з двома монетами). Простір елементарних подій складається з чотирьох елементарних подій \(\Omega = \left\{\omega_{1};\ \ \ \omega_{2};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), тобто за формулою (1.3) \(n = 4\). Подія \(A = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{2} \right\}\) складається з двох елементарних подій, тобто \(m = 2\). Отже, ймовірність того, що на обох монетах результати співпадуть, а саме в цьому полягає випадкова подія \(A\), визначається за формулою (1.3): \(P(A) = \frac{2}{4} = 0,5\). Відповідно, для події \(B = \left\{ \omega_{1};\ \ \omega_{3};\ \ \omega_{4} \right\}\), яка полягає у тому, що герб з’явиться хоча б на одній з монет, ймовірність дорівнює \(P(B) = \frac{3}{4} = 0,75.\)

1.2.3. Геометрична ймовірність

Для визначення ймовірності випадкової події формула (1.3) може застосовуватись лише в тому випадку, коли множина елементарних подій \(\Omega\) є дискретною. Однак множина \(\Omega\) може бути і неперервною. Якщо простір елементарних подій містить нескінченну множину елементів і йому можна поставити у відповідність певний геометричний простір, а ймовірність кожної події залежить тільки від міри цієї події, а не від її положення, то говорять, що на цьому просторі визначена геометрична ймовірність.

Геометричне означення ймовірності

Ймовірність випадкової події на неперервному просторі елементарних подій, яка визначається як відношення міри цієї події до міри простору елементарних подій, є геометричним означенням ймовірності і визначається співвідношенням, яке наведено на формулі: \[\begin{equation} P(S) = \frac{\text{mes}\ \ g}{\text{mes}\ \ G}, \tag{1.4} \end{equation}\] де \(G\) – область, що відповідає множині елементарних подій \(\Omega\); \(g\) – область, що відповідає підмножині елементарних подій, які є сприятливими появі події \(S\).

Якщо область \(G\) зображується у вигляді відрізка прямої, то її мірою є довжина цього відрізка, а мірою \(g\) – довжина тієї частини відрізка, що відповідає підмножині елементарних подій, які є сприятливими для події \(S\).

У тому випадку, коли область \(G\) зображена у двовимірному просторі будь-якою фігурою (найчастіше це прямокутник або квадрат), мірою \(G\) є площа цієї фігури, а мірою \(g\) – площа тієї частини області \(G\), що відповідає підмножині елементарних подій, що є сприятливими появі події \(S\).

Несподіваним застосуванням поняття геометричної ймовірності є задача Бюффона. Вона полягає у тому, що на площину, на якій на відстані \(2a\) одна від одної намальовані паралельні прямі, кидають голку довжиною \(2l\) (за умови, що \(a >l\)) і спостерігають за появою випадкової події, яка полягає у тому, що голка перетне пряму. Якщо випробування здійснюють \(n\) разів, а кількість випробувань, у яких голка перетинає будь-яку пряму, дорівнює \(m\), то при великій кількості випробувань відносна частота появи подій наближається до її ймовірності:

\[\frac{2l}{a\pi} \approx \frac{m}{n}.\]

Відповідно, \(\pi \approx \frac{2l \cdot n}{a \cdot m}.\)

За результатами 590 випробувань було отримано таке значення: \(\pi \approx 3,1416.\)

Приклад 1.2

Навколо кола радіусом \(r\) описано більше коло, радіус якого дорівнює \(R\). У більше коло кидають матеріальну точку. Визначити ймовірність того, що ця точка, потрапивши до великого кола, опиниться одночасно і у межах кола меншого радіуса.

Розв’язання. Для відповіді на питання задачі необхідно скористатись означенням геометричної ймовірності (1.4), оскільки простір елементарних подій є неперервним. Мірою області \(G\), що відповідає простору елементарних подій \(\Omega\), є площа великого кола, а області \(g\), що відповідає множині елементарних подій, які є сприятливими для появи випадкової події \(A\), тобто попаданню точки всередину малого кола, є площа меншого кола. Зазначимо, що множина \(g\) є підмножиною множини \(G\). Таким чином ймовірність того, що матеріальна точка, яка влучила у велике коло, одночасно влучить і у мале, дорівнює:

\[ P(A) = \frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}} = \frac{r^{2}}{R^{2}}.\]