2.2. Теорема множення ймовірностей
- Теорема
- Ймовірність одночасної появи двох подій (ймовірність добутку подій) дорівнює добутку ймовірності появи однієї з подій на умовну ймовірність іншої події у припущенні, що перша подія вже відбулась: \(P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\), де \(P(A)\) – ймовірність події \(A\) (безумовна ймовірність події \(A\)); \(P(B|A)\) – ймовірність появи події \(B\) за умови, що подія \(A\) вже відбулася (умовна ймовірність події \(B\)).
Цю ж теорему формально можна записати у іншому вигляді, якщо вважати, що першою відбулась подія \(B\) (2.1):
\[\begin{equation} P(AB)=P(B)\cdot P(A|B). \tag{2.1} \end{equation}\]
Доведення
Нехай простір елементарних подій \(\ Ω\), на якому розглядаються сумісні випадкові події \(A\) і \(B\), містить \(n\) елементарних подій, серед яких \(m\) елементарних подій є сприятливими для появи випадкової події \(A\), \(k\) – сприятливими для появи випадкової події \(B\) та \(l\) елементарних подій є одночасно сприятливими і для події \(A\), і для події \(B\). Тоді за класичним означенням ймовірності \(P(AB)=l/n.\) Скористуємося означенням умовної ймовірності та визначимо \(P(B|A)\). Кількість елементарних подій, що є сприятливими для події \(B\) за умови, що подія \(A\) відбулася, дорівнює \(l\), а загальна кількість елементарних наслідків випробування в цьому випадку становить \(m\), оскільки саме стільки елементарних подій є сприятливими для появи події \(A.\) Тобто за означенням \(P(B|A)=l/m.\)
Перетворимо вираз для визначення ймовірності добутку випадкових подій \(A\) і \(B\), поділивши чисельник і знаменник на величину \(m\neq0\) (ймовірність події \(A\) додатна). Як наслідок отримуємо (2.2):
\[\begin{equation} P\left( \text{AB} \right) = \frac{\frac{l}{m}}{\frac{n}{m}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{l}{m} = P(A) \cdot P(B|A). \tag{2.2} \end{equation}\]
У загальному випадку ймовірність одночасної появи кількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події визначається у припущенні, що усі попередні події вже відбулись.
Отже, для довільної кількості подій теорема множення ймовірностей набуває вигляду (2.3):
\[\begin{equation} \text{P}\left( \prod_{i = 1}^{n}S_i \right) = P\left( S_{1} \right) \cdot P\left( S_{2} \middle| S_{1} \right) \cdot P\left( S_{3} \middle| S_{1}S_{2} \right) \cdot \cdots\ \cdot P(S_{1}|S_{n - 1}). \tag{2.3} \end{equation}\]
У свою чергу, з теореми множення ймовірностей можна визначити умовну ймовірність.
Тоді за формулою (2.1) вище маємо, що ймовірність події \(B\) за умови, що подія \(A\) вже відбулася, визначається як відношення ймовірності одночасної появи випадкових подій \(A\) та \(B\) до безумовної ймовірності події \(A\) (2.4):
\[\begin{equation} P\left( B \middle| A \right) = \frac{P(AB)}{P(A)}. \tag{2.4} \end{equation}\]
Якщо повернутися до першого прикладу з двома двокольоровими жетонами, то завдяки формулі (2.4) матимемо інший шлях розв’язання. Так, за класичним означенням ймовірності, безумовна ймовірність події \(A\) (поява білого кольору на другому жетоні) становить \(P(A)=0,5,\) а безумовна ймовірність одночасної появи випадкових подій \(A\) і \(B,\) тобто одночасної появи білого кольору на обох жетонах, становить \(P(AB)=0,25\). Отже, умовна ймовірність подій \(B\) (білий колір на другому жетоні) за умови, що подія \(A\) вже відбулась (перший жетон має білий колір), дорівнює \(P(B|A)=0,25/0,5=0,5.\) Зрозуміло, що отримали ту ж саму відповідь.
Якщо ймовірність появи події \(B\) не залежить від того, відбулася чи ні подія \(A,\) то такі події є взаємно незалежними, і для кожної випадкової події ймовірність її появи за умови, що перша з подій вже відбулася, дорівнює безумовній ймовірності: \(P(A|B)=P(A)\) та \(P(B|A)=P(B).\) Відповідно, формули (2.1), (2.2) в цьому випадку набувають вигляду (2.5):
\[\begin{equation} P(AB)=P(A)\cdot P(B). \tag{2.5} \end{equation}\]
Співвідношення (2.5) може розглядатись як теорема множення ймовірностей для незалежних подій.
Наслідком теореми множення ймовірностей є теорема, що дозволяє визначити ймовірність появи хоча б однієї з випадкових подій.
- Теорема
- Ймовірність появи хоча б однієї з випадкових подій \(S_{1},S_{2},\cdots S_{n},\) які є незалежними у сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій \(\overline{S_{1}},\overline{S_{2}},\cdots\overline{S_{n}}.\)
Доведення
Нехай подія \(A\) полягає в тому, що як наслідок випробування відбувається хоча б одна з випадкових подій \(S_{1},S_{2},\cdots S_{n}\). Тоді протилежна їй подія \(\overline{A_{}}\) полягає у тому, що жодна з цих подій не відбудеться, тобто \(\overline{{A}}=\overline{{S}_1}\ \overline{{S}_2}\cdots\ \overline{{S}_n}\). Випадкові події \(A\) і \(\overline{A_{}}\) є несумісними і утворюють повну групу подій, отже, маємо: \(P(A)+P(\overline{A_{}}) =1.\) Звідси визначаємо, що \(P(A)=1-P(\overline{A}).\) Оскільки події \(\overline{S_{1}}\ \overline{S_{2}}\cdots\overline{S_{n}}\), які утворюють подію \(\overline{A}\), теж є незалежними у сукупності, то відповідно до теореми множення (2.5) маємо: \[P\left( A \right) = 1 - P(\overline{{S}_1}) \cdot P({\overline{{S}_2}}) \cdot \cdots P(\overline{{S}_n}).\]
Це і потрібно було довести.
Достатньо поширеним є правило, за яким появу події в одиничному випробуванні позначають \(P\left( S_{i} \right) = p_{i}\ (i =\overline{1,{n}})\), відповідно ймовірність появи протилежної події позначають \(p\left( \overline{S_{i}} \right) = 1 - p_{i} = q_{i}\). Згідно цих позначень, теорема про ймовірність появи хоча б однієї з випадкових подій набуває вигляду (2.6):
\[\begin{equation} P\left( A \right) = 1 - q_{1} \cdot q_{2} \cdot \cdots \cdot q_{n}. \tag{2.6} \end{equation}\]
Приклад 2.3.
Припустимо, що ймовірність того, що акції компанії \(A\) протягом найближчого тижня зростатимуть, дорівнює 0,7; ймовірність того, що протягом цього ж тижня зростатимуть акції компанії \(B\), дорівнює 0,4; а ймовірність того, що зростатимуть акції компанії \({C}\), становить 0,2. Визначити ймовірність того, що протягом наступного тижня зростуть акції хоча б однієї компанії, якщо ці процеси є незалежними.
Розв’язання
Отже, необхідно визначити ймовірність випадкової події \(D\), яка полягає у тому, що зростуть акції хоча б однієї компанії. Оскільки випробування є незалежними (зростання акцій однієї з компаній не впливає на стан акцій інших компаній), скористуємося формулою для визначення ймовірності (2.6) і отримаємо вираз (2.7):
\[\begin{equation} P\left( D \right) = 1 - \left( 1 - 0,7 \right)\cdot\left( 1 - 0,4 \right)\cdot\left( 1 - 0,2 \right) = 0,856. \tag{2.7} \end{equation}\]
Відповідь: ймовірність того, що протягом наступного тижня зростуть акції хоча б однієї компанії, дорівнює 0,856.
Окремим випадком теореми про визначення ймовірності появи хоча б однієї події є формула для обчислення ймовірності появи хоча б однієї події у випадку, коли для всіх подій, що розглядаються, ймовірність їх появи є однаковою.
Нехай для кожної з випадкових подій \(S_{1},\ S_{2},\ \ldots,S_{n}\) ймовірність появи становить \(P\left( S \right) = p.\) Тоді для протилежної події \(P\left(\overline{{S}} \right) = 1 - p = q.\)
У цьому випадку формула (2.6) набуває вигляду (2.8):
\[\begin{equation} P\left( A \right) = 1 - q^{n}. \tag{2.8} \end{equation}\]
Приклад 2.4.
На складі для сигналізації про пожежу встановлено п’ять датчиків, для кожного з яких ймовірність того, що датчик спрацює при пожежі, становить 0,9. Знайдемо ймовірність того, що при пожежі спрацює хоча б один з датчиків.
Розв’язання
Спрацьовування певного датчика при пожежі будемо розглядати як окрему випадкову подію \(S_{i} (i = \overline{1,{5}}),\) при цьому ймовірність усіх цих подій однакова і дорівнює 0,9. Тоді за формулою (2.8) визначаємо ймовірність того, що при пожежі спрацює хоча б один з датчиків:
\[P\left( A \right) = 1 - {0,1}^{5} = 0,99999.\]
Отже, завдяки наявності великої кількості датчиків ймовірність виявлення пожежі у разі її виникнення є дуже високою.
Відповідь: ймовірність того, що при пожежі спрацює хоча б один з датчиків, дорівнює 0,99999.