2.1. Умовна ймовірність

При визначенні ймовірності випадкової події завжди мають на увазі, що випробування проводяться у чітко визначених умовах, які дозволяють відтворювати явище, однак ніяких інших обмежень при цьому не існує.

Приклад 2.1.

Проводилися випробування з підкиданням двох жетонів, одна сторона кожного з яких є білою, а інша – чорною. У цих випробуваннях спостерігають за тим, якого кольору є верхня сторона першого жетона, незалежно від того, якого кольору буде верхня сторона іншого жетона.

Розв’язання

Зрозуміло, що ймовірність білого кольору для першого жетона (позначимо цю випадкову подію через A) дорівнює 0,5. Дійсно, існують дві елементарні події, які є сприятливими для появи білого кольору на першому жетоні: \(\omega_{1} = \left\{ б;б \right\}\) та \(\omega_{2} = \left\{ б;ч \right\}\). Оскільки простір елементарних подій складається з чотирьох рівноможливих подій (до нього входять ще події \(\omega_{3} = \left\{ ч;\ б\right\}\) та \(\omega_{4} = \left\{ ч;\ ч \right\}\)), то \(P\left( A \right)= \frac{2}{4} = 0,5.\)

Відповідь: \(\ P\left( A \right) = 0,5.\)

Безумовна подія: Ймовірність випадкової події називається безумовною, якщо ніяких додаткових обмежень у випробувань не існує.

Умовна подія: В окремих випадках одночасно з умовами випробування є певні додаткові умови, яких необхідно дотримуватися. Якщо при проведенні випробувань передбачаються такі додаткові умови, то в цьому випадку ймовірність випадкової події називається умовною.

Приклад 2.2.

У випробуваннях з двома двосторонніми жетонами (див. приклад 2.1.) визначимо ймовірність того, що верхня сторона другого жетона буде білою, якщо верхня сторона першого жетона є білою. Мова йде про ймовірність події \(B\) (поява білого кольору на другому жетоні) за умови, що на першому жетоні вже випав білий колір (подія \(A\)). Умовна ймовірність в цьому випадку записується як \(P(B|A)\), тобто ймовірність появи події \(B\) за умови, що подія \(A\) вже відбулася.

Розв’язання

За умовами прикладу загальна кількість наслідків визначається як кількість тих елементарних подій, у яких колір першого жетона є білим. Таких подій дві: \(\omega_{1} = \{ б,б\}\) та \(\omega_{2} = \{б,ч\}.\)

Але тільки одна з них є сприятливою для випадкової події \(B\). Це подія \(\omega_{1} = \{ б,б\}\). Отже, визначаємо умовну ймовірність: \[P\left( B\middle| A \right) = \frac{m}{n} = \frac{1}{2} = 0,5.\]

Зауваження: Слід розрізняти умовну ймовірність події \(B\) за умови, що подія \(A\) відбулась, і безумовну ймовірність події \(C\), яка полягає в тому, що на обох жетонах випаде білий колір. Для події \(C\) сприятливою є лише одна елементарна подія \(\omega_{1} = \{ б,б\}\) з чотирьох рівноможливих на просторі елементарних подій \(\ Ω = \{\omega_{1};\omega_{2};\omega_{3};\omega_{4}\}.\)

Отже, \(\text{P}\left(C \right) = \frac{1}{4} =0,25.\)

Відповідь: \(P\left( B \middle| A \right) = 0,5.\)

Залежна подія: Якщо поява однієї випадкової події впливає на ймовірність появи іншої випадкової події на множині \(Ω,\) то такі події називаються залежними.

Незалежна подія: Протилежний випадок залежної події. За означенням для незалежних випадкових подій умовна ймовірність такої події дорівнює її безумовній ймовірності, тобто мають місце такі співвідношення: \(P\left( A \middle| B \right) = P\left( A \right)\) та \(P\left( B \middle| A\right) = P(B).\)